摘要: 工薪阶层的人士可通过低押贷款的方式使买房这个天方夜谭式的梦想变成现实。在市场经济的信息时代，面对不同的经营决策方案，正确的决策意味着经济资源的最优配置。
关键词：贷款额 利率
贷款期限 还款额 复利 输入输出模型 离散变量 连续化
1. 问题的分析及简化:
问题1：
张先生自备款70000￥，其余进行贷款抵押，有如四种方案可供选择：
方案1.1： 贷款期限:
5年 单位时间(月)还款额:
1200￥
单位时间(月)利率:
0.01 贷款额: ?
方案1.2: 贷款期限:
0 一次性还款:130000
方案1.3: 贷款期限:
25年 (月)还款额: ? (< = >
900$)
单位时间(月)利率:
0.01 贷款额： 60000￥
方案1.4: 贷款期限:
22年 (半月)还款额: 316$(附:预付三个月)
单位时间（月）利率：？ 贷款额： 60000￥
问题2：
将欠款额A(t)关于时间t的输入输出模型连续化,即时间离散变量连续化。
问题3：
单位时间利率R
与月利率r=0.01如何转化？
2.模型假设:
-
银行及借贷公司在贷款期限内利率不变;
-
不考虑物价变化及货币贬值等经济波动的影响;
-
利率转化函数合理性及实用性已经实践检验;
-
银行利息按复利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化;
3.模型建立及求解:
3.1:确定变量:
银行贷款额:A0 银行欠款额: A (t)
(单位时间)银行利率:R (单位时间)付款额: a
3.2:问题3的分析:为了简化模型结构,特作如下约定(定义):
定义3.2.1:
单位时间利率关于时间成线性(反比)关系;
定义3.2.1:
单位时间还款额关于时间成线性（反比）关系；
3.3:
问题2的分析:经推导验证,贷款的输入输出模型可用定理3.3.1的公式:
TH 3.3.1: A(t)=A0(1+R)^t-a[(1+R)^t-1]/R;*（用数学归纳法证明）
证明：分析银行贷款规则可知：变量之间应满足递推关系式如下：
A(t)=A(t-1)(1+R)-a
………………(1) 显然
A(0)=A0, A(1)=A0(1+R)-a 成立；
假设当t=k
A(k)=A0(1+R)^k-a[(1+R)^k-1]/R 成立；
则当t=k+1,即第(k+1)个单位时间后银行欠款额，由递推关系式(1)：
A(k+1)=A(k)(1+R)-a
={A0(1+R)-a[(1+R)^k-1]/R}(1+R)-a
=A0(1+R)^(k+1)-a[(1+R)^(k+1)-(1+R)]-a
=A0(1+R)^(k+1)-a[(1+R)^(k+1)-1]/R
A(k+1)符合假设所给形式，即证。
3.4 问题1的分析：贷款方案的决策：
方案1.1: 由定理3.3.1,
A0(1+R)^t =A(t)+a[(1+R)^t-1]/R
A(12*5)=A(60)=0; => A0=a[1-(1+R)^(-t)]/R;
将R=r=0.01,a=1200;
A0=120000(1-(1+0.01)^(-60)=53946.04609￥
即如果一次付款应付A=70000+A0=123946.04609$
方案1.2:
t=0,A=130000￥. 显然
130000>123946.04609,方案1.1优于方案1.2,面对这两种选择,张先生应考虑方案1.1。
方案 1.3:
t=25*12=300 月利率
r=0.01 A0=60000$
则
A(300)=A0(1+r)^300-a[(1+r)^300-1]/r=0
即: a=[A0(1+r)^300*r]/[(1+r)^300-1]=631.9344854$<900J$
故张先生可以考虑贷款买房。
方案 1.4:
t=22*12*2=528 A(0)=60000-316*38*2 (预付三个月)
A(1)=a(0)(1+R) A(2)=A(1)*(1+R)
………………… A(6)=A(1)(1+R)^6
A(7)=A(6)(1+R)-a ………………………
A(n)=A(6)(1+R)^(n-6)-a[(1+R)^(n-6)-1]/R
=>Solve[A(528)=A(6)(1+R)^522-a[(1+R)^522-1]/R=0,R]
比较方案1.3和方案1.4:
1)
方案1.3贷款期25年明显长于方案1.4贷款期22年
2)
张先生实际所付金额:方案1.3:A=70000+631.9344854*300=2595803456
方案1.4:A=70000+316*2*22*12=236848.0000
显然方案1.3比方案1.4实付款多,贷款期长,故张先生应考虑去借贷公司贷款.
3.5 问题2的求解:
3.5.1 银行欠款离散模型:
欠款额关于离散变量(时间)的贷款模型,可根据假设及3.2的分析,将一个月分为m个相等的时间区域则每个时间区域中还款x=a/m
,每个区间的利率为R=r/m,贷款期限为t个月，假设存在t*，使A（t*）=0;
由Th3.3.1. A(t)=0;
A(mt)=A0(1+r/m)^（mt）-(a/m)[(1+r/m)^（mt）-1]/(r/m)
=A0(1+r/m)^(mt)-(a/r)[(1+r/m)^(mt)-1]
则A(mt*)=0 =>mt*=㏒[(1+r/m),a/(a-A0r)].
………………(2)
3.5.2 银行欠款连续模型:
在银行欠款离散模型中,再让m ->
+∞, 即得连续银行欠全款模型:
lim(A(mt)=A0lim[(1+r/m)^(mt)]-a
{lim[(1+r/m)^(mt)]-1}/r
=A0e^(1/t)-a[e^(1/t)-1]/r
A(mt*)=0 => t*=[㏑[a/(a-A0r)]^(-1)
3.5.3 t* 的存在性讨论:
若存在t* ,则需满足: 1) t*>0
2) a/(a-Ar)>0
显然 t*=㏑[a/(a-A0r)]^(-1)
>0 满足条件1)
a/(a-A0r)>0 即
a-A0r>0. a>A0r时 满足条件2)
结论: 当a/m-rA0/m>0,
即x>RA0时,存在 t*,使A(t*)=0
3.5.4 银行离散模型的应4 银行离散模型的应用:
1) 单位时间(十天): m=3,
代入（2）式，mt*=896.4368217
2)
单位时间(一天): m=30.代入（2）式, mt*=8950.960916
提前天数:
△1(t)={300-[896.4368217/3]}*30=35（天）
△2(t)={300-[8950.96016/3]}*30=49(天)
4 结果分析:
4.1 银行离散模型根的存在性证明:
T4.1.1 : A(t)关于时间t的函数A(t)=A0(1+R)^t-a[(1+R)^t-1]/R
存在 t*
，使A(t*)=0
证明: 显然初等函数A(t)关于时间变量t连续,
故 A(t)在[0,∞] 上连续
由 A(0)>0 已知， 需证时间
t0 存在, 使A(t0)<0;
由根的存在性定理可知t*存在,St A(t*)=0 (m
为有限常数)
A(mt*)=(A0-a/r)[(1+r/m)^(mt*)]+a/r<0;
若x-a/r>0, (1+r/m)^(mt*)>a/(A0r-a);
若x-a/r<0, (1+r/m)^(mt*)<a/(A0r-a);
若x-a/r=0, x=Aor, 无解.
4.2 银行连续,模型的存在性3.5.3已讨论.
5 模型的评价:
模型对银行贷款决策问题给予了定量的分析,利用差分方程的建模方法及离散连续结构分析,对贷款买房问题给予了决策参考.
6 模型的检验:
在模型结构的简化中,使利率及还款额与时间成线性变化的理想状态与银行利率受物价水平和经济指数等多方面影响的现实之间存在误差,但作为决策分析,其误差在允许范围之内;在提高经济资源的最优化配置上可供参考.
